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数学の勉強法
数学勉強法|大学受験数学の勉強法
合格するための数学勉強法まとめ
「東大理三合格講師多数」「東大首席合格講師複数」「数学オリンピックメダリスト」の
解説・動画・音声を盛り込んだ「合格するための」大学受験数学の勉強法と対策の仕方

数学を攻略し難関大学合格を掴み取る


数学の勉強法のコンテンツをまとめたページです。 大学受験数学の勉強法を網羅しています。

東大理三合格講師多数、東大首席合格講師複数名、 数学オリンピックメダリスト複数名を擁する (株)合格の天使が、数学の勉強法で悩む全国の受験生の皆さんに受験数学の真実を知り、克服していただくためのコンテンツのまとめです。

「数学の勉強法」と称するものは世の中に散乱していますが、本当に数学を得意科目とした人、実際に受験で高得点を獲得した人が書いているものはほとんどありません。ということはそこに書かれている数学の勉強法というのは本当の意味で数学を得意科目にする勉強法とは異なるものが沢山あるということです。

きっちりとした結果と自らの実証に裏付けられた的を射た数学の勉強法をこのコンテンツから学び取ってください。

『コンテンツ目次』

【数学攻略の最短ルートの勉強法の手順と対策】

1.理系受験生の数学対策の最短ルート

2.文系受験生の数学対策の最短ルート

3.高校1,2年生の数学対策の最短ルート

4.最短ルートを確保するために必要な知識

5.東大理三合格講師槇からのアドバイス
数学の勉強で最も大事なこと

【数学の問題演習の効率的な勉強と復習の仕方】

1.わからない問題に対する効率的な問題演習の方法

2.わからない問題に対する的確な復習法

3.わからない問題の最重要ポイント

4.間違えた数学の問題の対処法と復習の仕方

5.間違えた問題を的確に復習することで数学の実力は大きく伸びる

  

東大理三合格講師槇による数学の勉強法解説【動画】

6.間違たこと、出来なかったことを発見することが本来の数学の問題演習の目的

【教科書レベルの数学の問題集・参考書の使い方】

1.思考過程を理解して整理して記憶する

2.具体的な問題を通じて数学という科目、公式の本質的理解をするという意識を持つ

3.数学の実力をアップさせる教科書レベルの問題集・参考書の具体的な使い方

4.教科書レベルの基礎を習得する段階での注意点

5.受験数学をセンスと誤解しない

6.難関大学や医学部志望受験生が特に注意すべきこと

7.【秘策】この段階での意識と実践をあえてズラす!

【数学の標準問題集・参考書の使い方】

1.難関大学の数学で合格点を獲得する肝は標準・典型問題対策

2.数学の標準・典型問題集・参考書の具体的な使い方

3.標準・典型問題の数学問題集・参考書の勉強法の注意点

4.問題集・参考書での問題演習の目的をはっきりさせる

【東大理三合格講師陣が分析 数学の基礎・標準問題集】

1.基礎習得のための数学問題集・参考書

2.解法パターン・定石ストックのための問題集

3.思考力養成のための問題集

【数学の過去問演習と過去問の効率的な活用法】

1.数学の過去問の勉強法のポイント

2. 数学の過去問対策上の注意点

3. 数学の難問判別能力を得るために活用する

4. 試験本番での数学の時間不足対策をする

5. 過去問演習を数学の勉強の核に据えよ

【効率的かつ確実に数学を得意科目にする計算力】

1.計算力・計算スピードを高めるための問題集

2.計算力養成の大きなメリット

【東大トップ合格者が大学受験数学を攻略した勉強法】

1.数学苦手から東大数学本番で112/120点を獲得した数学勉強法

2. 一般に語られることがない受験数学攻略のツボ

3. 数学の実力をあげる記述・論述のポイント

4. 数学勉強法の極意

5. 記述・論述答案を重視する数学の勉強法

6. 安易な勉強法拝借は受験生にとって有害である

【東大理三合格講師槇による数学の勉強のコツ】

1.整数問題①

2. 整数問題②

3. 整数問題③

4. 方程式・不等式

【実力を効率的にあげる最も優れた勉強法】

1.当塾の東大理三合格講師陣も実践してきた方法

2.実際の数学の質問回答を公開

3.平面図形

4.極限

5.確率 排反と独立

6.次数がわからない関数を含む恒等式の場合分け

7.因数分解

8.数列の一般項

9.漸近線の変化

10.複接線

11.積分 面積の最小

12.複素数 虚数ωの範囲

13.補足

【数学の実力を大きく伸ばす方法】

1.数学の実力を確実かつ大きく伸ばす方法

2. 大学受験数学で差がつく原因を知り焦点を当てる

【あわせて読みたい数学勉強法の無料コンテンツ】

1.【数学勉強法】東大理三合格者20名超の対策

2.【医学部数学】勉強法|東大医学部講師20名超が受験対策を分析

3. センター数学の勉強法|9割超への対策




数学攻略の最短ルートの勉強法の手順と対策


難関大学に合格するための数学の勉強法や手順、ルートというと一般に問題集や参考書は何を使えばいいのか等を様々なところで目にしたり、そういった数学の勉強法と称するものの情報を集めたりしてしまっている受験生のみなさんが多いと思います。でもそこに重点や焦点をおいても、その類の情報をいくら集めても難関大学に合格する数学の実力は決してつきません。なぜならみなさんが数学の実力をあげるために必要なものはそういったルート、勉強法ではないからです。

大事なこと、差がつくことは何をやるかではなくて日々の勉強で「何を得ていくか」「何を得ていけるか」です。ここに焦点を当てたのが合格の天使の「合格するための勉強法」であり 「合格するための数学の勉強法です。(「合格するための勉強法」と「勉強のための勉強法」の違いの詳細は 著書「受験の叡智」【受験戦略・勉強法の体系書】 著書「医学部受験の叡智」【受験戦略・勉強法の体系書】をご覧ください)

以下この観点から合格までの数学の勉強法の手順,ルートを「理系受験生」「文系受験生」「高校1,2年生」に分けて示します。問題集や参考書について詳しくなる必要も、あーだこうだうんちくを言う必要もありません。本当に何が必要なのかをわかっていれば極めてシンプルな最短ルートをたどることが出来ます。

理系受験生の数学の勉強の手順と対策


難関大学合格への理系受験生の数学最短ルート

※2次試験で数学が課される文系受験生も同じ

理系受験生の数学の勉強法の手順,対策としてはまず教科書、教科書の章末問題、教科書傍用問題集(もしくは教科書代用参考書・問題集)を用いて基礎を一通り学ぶ。その後受験標準問題集で一通り解法の過程、解法のパターンを学んだらできるだけ早く志望校の過去問演習に入り(9月~秋が目途)、基礎標準知識⇔志望校の過去問演習の往復で『基礎標準知識を過去問基準でとらえなおす』『過去問至上主義』(「受験の叡智」から引用。著作権保護・無断使用禁止・要引用明記)、ブラッシュアップしていくことをお勧めする。

※高校生・浪人生のみならず社会人受験生、再受験生も教科書ガイドを教科書とともに購入する等すれば教科書は優れた基礎習得のツールになります。この点は教科書学習の重要性のコンテンツも併せてご覧ください。

※二次・私大対策の数学の勉強とセンター試験の数学の勉強法の関係・取り組み方については センター数学の勉強法と対策のコンテンツをご覧ください。

文系受験生の数学の勉強の手順と対策


難関大学合格への文系受験生の数学最短ルート

文系受験生の数学の勉強法の手順,対策としてはまず、教科書、教科書の章末問題、教科書傍用問題集(もしくは教科書代用参考書・問題集)を用いて基礎を一通り学ぶ。状況によっては傍用問題集を用いずに教科書と教科書の章末問題のみで十分対応できるのでオーバーワークにならないようやるべきことは絞ってよい。センター試験でのみ数学が課される場合はこの後はセンター過去問(新課程分野以外はセンター過去問集以外やる必要はない。新課程分野については適宜模試問題集等を利用)を使って徹底的に自分に欠けている部分を分析し、教科書、教科書の章末問題、教科書傍用問題集(もしくは教科書代用参考書・問題集)に戻り、基礎標準知識⇔センター過去問演習の往復で『基礎標準知識を過去問基準でとらえなおす』(受験の叡智から引用。著作権保護・無断使用禁止・要引用明記)、ブラッシュアップしていくことをお勧めする。

※センター試験の数学の勉強法については センター数学の勉強法と対策のコンテンツをご覧ください。

高校1,2年生の数学の勉強の手順と対策


難関大学合格への高校1,2年生の最短ルート

高校1,2年生の難関大学に合格するための数学の勉強法の手順,対策、数学の実力を高い次元で確実につける勉強法としては、 理系受験生・文系受験生の数学の勉強法の手順,対策をご覧いただければわかるとおり、教科書、教科書の章末問題、教科書傍用問題集(もしくは教科書代用参考書・問題集)を用いて数学の基礎知識・思考を徹底的に身につけるだけで受験年には盤石の数学の対策が可能になります。

一般的に多くの問題集や問題演習をこなしたり先取り学習をしないと難関大学に合格する数学の実力はつかないと思われていますがそれは明らかな誤りです。基礎の段階からしっかりと分析・思考もしないで大学受験に対応できる数学的思考力などつきません。この部分は難関大学を目指す多くの高校1,2年生が間違った考え方をしてしまっている部分です。

数学の高い実力をつけるためには多くの問題を解くことではなくて、先取り学習をすることなどではなくて、教科書レベルの基礎をしっかり学ぶことが最も重要です。この部分はほとんどの指導や勉強法では詰め込み式の方法が提唱されていますので特に注意して下さい。この方法では基礎の段階からしっかりと分析して思考していく余裕などなくなってしまうのです。

高校1,2年生や保護者の皆様は 高1,高2の勉強法のページも併せてご覧ください。この数学の勉強法のコンテンツでお伝えしている意味をよりご理解いただけます。

以上の詳細は著書「受験の叡智」【受験戦略・勉強法の体系書】、 著書「医学部受験の叡智」【受験戦略・勉強法の体系書】をご覧ください。数学の年間計画のサンプルプランを国公立理系、私大理系、国公立文系について他科目との兼ね合いも考慮し解説しています

まず以上述べてきたことを前提に難関大学合格のために高校1,2年生の段階で具体的にどのように数学に取り組んでいくのかの勉強法について数学の勉強法の続きのコンテンツをご覧ください。

最短ルートを確保するために必要な知識


大学受験数学はセンスではないという認識を正確に持つ!


数学の的確な対策、勉強法、最短ルートを確保するために以下をしっかり読んで大学受験数学はセンスではないという認識を正確にまず持ってください。

数学を苦手とする受験生の方は多いですよね。また、苦手ではなくても本番で確実に得点できるか不安という方も非常に多いです。 その原因はなぜでしょうか?

受験数学で確実に得点すべき方法で日々の勉強を行えていない、その方法自体がわからない、日々どのような視点に着目して勉強していけばいいのかそもそも気にしていない、そんなものがあるなんて思っていない、単に問題演習を重ねれば実力がつくと思っている、違いますか?

また、数学についてよく言われることですが、数学はセンスだ、とか、自分は数学のセンスがないから数学は苦手だ、という言葉がありますが、 大学入試の数学は、学者になる試験でも、数学者になる試験でも、数学の深遠なる原理を探求し何かをクリエイトするわけでもありません。

少なくとも大学入試レベルの数学で高得点を取るためにセンスは関係ありません。 正しい方向でしっかりと基礎から理解し問題演習を繰り返すことによって克服できるものです。苦手な方に足りていないのは、本質的な理解とその理解を生かすための正しい方向での問題演習の反復継続です。

東大理三合格講師槇からのアドバイス


大学受験の数学の勉強ではインプットとアウトプットが大切


大学受験の数学では、どれだけ多くの思考方法や解法パターンが身に付いているかがカギになります。 余談ですが、中学入試に向けた「算数」ではちょっと違っていて、一つの問題と長~く向き合って粘り強さを養うことが重要です。 これは、小学生はまだパターンを自由に出し入れできるほど頭の中が整理されていないからです。 しかし大学入試では、一つの問題に長く向き合うよりも、未知のパターンを吸収して、多くの問題を解く中でそれを定着させる方が効果的です。 ただし高校生と言えど、一度解法を見ればパターンを使いこなせるようになるのではなく、それをアウトプット(出力)、つまり実際にそれで問題を解いてはじめて身に付きます。 このインプットとアウトプット両方を大切にしないと、なかなか新しい考え方を自分のモノにすることは出来ません。


具体的な数学の勉強法を考える前にまずは以上の意味をしっかりと認識して下さい。「数学はセンスだから自分には高得点などとれない」と考えていたのでは、また模試や日々の勉強の結果を捉えて心のどこかでそういう弱音が出てくるならば、それは本当にやらなければならない数学の勉強法や数学の勉強自体から逃げているだけです。その考え自体が数学で高得点を取ることを妨げてしまっているのです。根拠のないセンスなどクソくらえと思って貪欲に数学の実力を伸ばすための大学受験数学の勉強法の手順と対策を実践して行きましょう。

数学問題演習の効率的な勉強と復習の仕方


大学受験の数学では日々の問題演習への取り組み方や勉強法、復習の仕方で大きく差がついてしまいます。確実に数学の実力をあげるための問題演習における勉強法と復習の仕方について以下で解説します。

わからない問題に対する効率的な問題演習の方法


数学の問題演習で効率的に実力をあげていく勉強法として5~10分考えてわからないとき模範解答のわからないところだけをまず見て残りを自力で考え、またわからないところが出てきたらわからないところだけを模範解答を見てそれを繰り返し最後の答まで行き着くという演習方法をお勧めします。

この方法の長所は答を全部見てしまって解法は単なる暗記になってしまう場合に比べ、しっかりと思考をすることで実力がつくという点です。また自力で解いたところでわからないものはいくら考えてもわかりません。数学の実力を確実につけつつ時間を効率よく使うためにはこの方法が優れているのです。

わからない問題に対する的確な復習法


演習に「指針・方針」が付いているような数学の問題集などでは、復習の際、まずその指針や方針の部分だけを見て答案を作ってみてください。とにかく学習のうちで自動的な作業を減らすようにすることが大切です。例えば問題がわからない→解答を全部見る→とりあえず全部覚える、という手順の人は、殆ど自動的に事務作業のような勉強をしています。これでは数学的思考力が伸びることは決してないのです。

大切なのは量ではなく質です。これを意識してわからなかった問題を分析・思考し復習して下さい。たとえ量は少なくても、自分でひとつひとつ「何が分かれば分かるのか」や「何が他の問題でも使えそうか」などを考えながら行った演習のほうが、事務作業的に無意識でこなした大量の問題よりはるかに身になるのです。

数学の勉強法としてよく言われるような、その問題をできるようになるまで回数を繰り返すということに主眼をおいた勉強では本当に大事なものはいつまでたっても得られず数学の実力はついていかないということに特に気をつけてください。

わからない問題の最重要ポイント


わからない問題に対する数学の勉強法(間違えた問題に対する数学の勉強法でも同じ)としてとても大事なのが自分は「どこまでわかって」「どこから何がどのようにわからないのか」を勉強の際にも復習の際に明確にするということです。これは弊社合格の天使の講座の説明で常にお伝えしていることなのですが、合格の天使受講生の実力が圧倒的に伸びるのはこの部分について明確にして質問数無制限で質問回答を得られるからです。

「どこまでわかって」「どこから何がどのようにわからないのか」を明確にするという過程でしっかり思考をし頭の整理をします。ですのでみなさんもわからない問題にぶち当たったときはそこでただ「わからない」「できない」で済ませるのではなく「どこまでわかって」「どこから何がどのようにわからないのか」を明確にするということは必ず行ってください。

この後にさらに大事なポイントがあるのですがそれは 数学の実力を確実かつ大きく伸ばす数学勉強法の秘密でお伝えします。 この項ではとりあえずここまでは実践しなければならないということを理解して下さい。

間違えた数学の問題の対処法と復習の仕方


数学の問題演習をこなし、勉強しているのに実力がついていかない受験生の特徴として一番重要な部分の前段階までしか取り組んでいないという問題点があります。問題をやって間違えた⇒解答・解説を見る⇒「あーそうすればよかったのか」でその問題終わり⇒次からそのことだけを暗記するために復習を繰り返すという勉強法をあなたは行っていませんか?

この点について日々の数学の問題演習で間違った問題にどう取り組んでいくべきなのかを解説した東大理三合格講師槇の動画をプレゼントします。これは間違った数学の問題への勉強法と復習の仕方に関してだけではなく、わからない問題への勉強法と復習の仕方としても同じことが言えますので是非参考にしてください。自分に厳しく日々の数学の問題演習の取り組み、的確な勉強法と復習法を実践して数学を得意科目にしてください。




間違たこと、出来なかったことを発見することが本来の数学の問題演習の目的


数学の日々の問題演習としての勉強でもその復習でも多くの受験生が的確な対策を取れないのには明確な原因があります 受験生のほとんどの方は、出来なかった問題やわからなかった問題が続くと「自分はダメだ」「数学の才能がない」と悲観したり落胆したりしてしまって本当に大事なことが見えていないのです。

その最たる原因は数学の日々の勉強や問題演習の目的を勘違いしてしまっているためです。日々の勉強で数学の問題演習を行う目的は「できないところ」「わからないところ」「知識があいまいなところ」を発見しそれに的確に対処するために行っているのです。

それにもかかわらずできなかった、わからなかったことに悲観していたのでは本末転倒です。大学入試の本番前にできないところ、わからないところを発見できたのですから本当はとても大事なものを得たのです。日々の数学の勉強や問題演習の復習をする際にはこの現実をしっかりとらえて対策を行っていってください。

教科書レベルの数学の問題集・参考書の使い方


数学の問題集・参考書には大きくレベル分けして2つのレベルがあります。一つは教科書レベル、もう一つは標準問題集レベルです。 この2つの勉強法を全く一緒にして語っている数学勉強法がありますが、それは全く的外れな、 的を射ていないとんちんかんな勉強法であることがほとんどです。

問題集・参考書のレベルによって使用目的が異なります。したがって得るべきものも当然異なります。 ここではまず、教科書レベルの数学の問題集・参考書の使い方について解説します。

思考過程を理解して整理して記憶する


教科書レベルの知識の習得の勉強法のポイントを考える前提として、 難関大学の数学は基礎からの粘り強い思考と考察が求められるという点に特徴があることを 意識しておくとよい。 したがって難関大学の数学といえどもまず教科書レベルの問題を確実にできるようにすることが 合格にとって最も重要です。

難関大学の数学攻略にはまず教科書レベルの知識をしっかりと身につけること、 そのために教科書の例題・章末問題(高卒生は教科書代用参考書でもよい)はしっかりと解き、 思考過程を理解して整理して解法を記憶することが非常に大切になります。

ここでのポイントは思考過程を理解して整理して記憶するということが重要ということです。 ものによっては、公式をまる覚えするのではなく、公式を導く過程をしっかり理解することによって、 覚えることを最低限で済ませることが出来るのです。

多くの問題にあたっても、単に解き方を暗記するということとは異なることは理解して下さい。 そのやり方で本質的な理解が伴わず、いくら勉強したところで解法が同じ問題しか解けない、 少し角度変えられればお手上げであるという状態になります。 数学が不得意な受験生はこのような方法で多くの時間を数学の問題演習で浪費してしまっているのです。

具体的な問題を通じて数学という科目、公式の本質的理解をするという意識を持つ


教科書レベルの問題演習に限らず数学の問題集や参考書で問題演習や知識の習得を行っていく際に 最も重要なこと具体的な問題を通じて数学という科目、公式の本質的理解をするという意識を 持つことです。 これによって、応用された問題に幅広く対応することができます。 思考と理解が伴わなければ解法を他の問題に応用すろことはできないのです。 これでは本当の意味で数学的思考を理解できていないので実力は伸びないのです。

日々の数学の教科書学習や問題演習では丁寧に問題演習をおこない解法の思考過程・方法を納得して 整理して覚えていくことがとても大事なのです。 これを行うことで数学の基礎力は着実に身につけられます。

数学の実力をアップさせる教科書レベルの問題集・参考書の具体的な使い方


具体的には、ある新しい考え方に出会ったら、 それが「なぜ」そうなるのかを突き詰めてください。 読んだ解法をどんどんさかのぼって、 基礎的な知識までたどり着くまで「なぜ」を繰り返してください。 その手順を踏むことで、過程を考える思考力を身につけることが出来、 自分で論理を展開する力も鍛えることが出来ます。「なぜ」がなくなるまで遡ることが大切です。

このように思考と理解とを伴わせることによって始めて数学の本質的理解ができ 解法のパターンを未知の問題に使えるようになります。 思考と理解があってこそいくつかのパターンを当てはめてみたり、 組み合わせてみたりして問題が解けるようになるのです。 この過程が思考力といわれるものです。 したがって数学的思考力をつけるため基礎知識を可能な限り早い段階で身につけ 一定程度の演習をこなしてください。

教科書レベルの基礎を習得する段階での注意点


教科書レベルの基礎知識を習得する段階では頻出事項のみに偏ることの無いように 数学の体系的理解を心がけてください。 頻出事項でなくても、問題の解法のヒントになったり、 見慣れない問題を解く鍵になったりすることは多々あります。 数学の総合力が解答速度を速めたり様々な応用の基礎になるのです。

受験数学をセンスと誤解しない


受験生の中には数学は才能、センスだといって高得点を取ることをあきらめている方もいます。 ではその人に問います。才能、センスって何ですか? 明確に論理的に説明できないものは根拠がないと同じです。 少なくとも受験数学において才能、センスは関係ありません。 その証拠に基礎知識を重視し問題演習の分析をしっかり行うことで 高得点を取っている合格者はたくさんいるのです。

苦手な人は短期間で急激な上昇は見込まずに地道に教科書レベルの基礎知識の習得に励んでください。 数学の実力をつけるにはある程度の時間が必要です。 あせらず地道に我慢してここで述べている対策をしていってください。 極端な話、試験当日に実力が伸びていればいいのです。 模試の成績など気にする必要はありません。 地道な対策を繰り返し試験当日に多くの得点を獲得すればいいだけの話なのです。

難関大学や医学部志望受験生が特に注意すべきこと


難関大学や医学部志望の受験生の中には この数学の基礎レベルを軽く考えている人が多いです。 しかし、ここをないがしろにして受験標準問題集をいくら解こうが、 何時間数学の勉強をしようが数学の実力を難関大学合格レベルにもっていくことは不可能です。

基礎と応用というのは別々に存在しているのではなくて同一円状に内在する関係だととらえてください。 そして応用問題も基礎知識がその実態のほとんどを占めているという事実を理解して下さい。 この部分があいまいであったり抜けが大きいのに難関大学志望だからといっていきなり 標準問題集から入るのは不合格への道です。

実際に多くの勉強時間を数学の勉強に費やしたり、 多くの数学の問題集や参考書をこなしたのに数学の実力がつかない、 難関大学に合格できないという受験生はほぼこの教科書レベルの数学の基礎知識や思考を 軽視している人たちなのです。

【秘策】この段階での意識と実践をあえてズラす!


以上、思考や理解について述べてきましたが、ここで大事な注意点があります。

この段階での完全理解は不要

この段階で思考や理解をしていくという意識は非常に大事です。 その意識付けのためにi思考や理解ということを今までお話してきました。 しかし、最終的に得るべき数学の理解・思考というのは、 次のレベル・段階の問題演習の過程で適宜、理解が曖昧・不十分な部分に立ち返り 確認を行っていく、理解をしていくということで得られるものです。

要するにこの段階では、教科書の隅々まで理解することは不可能ですし、その必要もありません。

基礎をしっかり理解するというのはそれだけ難しいということであるとともに、 全体を学ぶ中で立ち返る方が本質的な理解という点でも、 効率という点でも優れている部分があるということです。この点は誤解しないようにしてください。

公式の適用や計算を目的としたこのレベルの問題集は早めに切り上げるべし

個人によって使う問題集は異なりますが、 例えば白チャートなどを理解や思考のために何度も繰り返す必要はありません。 そもそもそういう性質の問題集ではありません。

このレベルでの演習目的は、数学で習う概念や公式を理解するために 問題を多く解いてその概念や公式を使う機会を多く持つ必要があるからです。 そのため、問題をこなす以前の段階で時間をかけて理解しようとするのは (入試で点を取るという観点では)非効率的です。 ですので、初習の際は、各公式の使い方を覚えるような形で進めていくのがいいでしょう。 そして演習を通して公式に慣れましょう。 答えはすぐに見ていいと思います。

ある程度問題が解けるようになり概念や公式に親しんだら次の問題集に移っていいでしょう。 このレベルの問題集は早く卒業して次の標準レベルの問題集(青チャート、Focus Goldなど) で時間をかけるべきなのです。この辺りは意識レベルと実践レベルにややズレが出るややこしい部分ですが、 効率的に数学の実力をつけていくために非常に重要な部分ですので、 この点についてきっちり説明してある 数学勉強法|東大理三合格者20名超の勉強法 ▶ を併せて読んでください。

数学の標準問題集・参考書の使い方


難関大学の数学で高得点、合格点を獲得するために日々の数学の勉強法で最も大事になることは、多くの大学で出題される標準・典型問題でどれだけ制限時間内に正確かつ迅速に処理していけるかが合否を分ける最大のポイントであるという事実を知り対策をおこなうことです。また基礎標準知識を前提にそこからの論理的思考で解答を導きだす応用問題が出題される大学の対策としてもまずは数学における基礎標準知識の習得が最優先に重要になります。

難関大学の数学で合格点を獲得する肝は標準・典型問題対策


具体的な勉強法、対策としては教科書レベルの基礎知識を習得したら標準的な網羅系問題集(1対1や青チャート、フォーカスゴールド等がここで言う標準的網羅系問題集。どれか一冊でよい。)を用いて問題演習を繰り返し、解法パターンがすぐに頭に浮かぶ程度に得意分野にしておくと時間的にも精神的にも楽になります。まずこのレベルまで仕上げることが最優先にしてください。得点源となる標準・典型問題はどの分野から出てもいいように穴を作らないことが重要です。

数学の標準・典型問題集・参考書の具体的な使い方


具体的な標準・典型問題の数学問題集・参考書の使い方として重要なポイントが2つあります。

1つ目は大学受験数学で特に難関大学の数学の問題ではその出題の前提となっている大学受験数学における基礎標準知識とされているものについてはしっかりと習得しておく必要があるということです。これは「1.教科書レベルの知識の習得と問題演習における数学の問題集・参考書の使い方と勉強法」でも触れた理由からです。他の科目にも言えることですが「直接に出る、出ない」を基準にやるべきことを決めるべきではないのです。バックボーンとなる部分は習得しておかなければ初見の問題にも応用問題にも対処できません。時間はそれなりにかかりますが網羅系問題集は一冊なんでもいいのできっちりとものにすることが重要です。

2つ目は難関大学を目指すからという理由で1対1と青チャートのように受験標準とされている網羅系問題集を2冊をこなさなければならないと思ってしまっている、思わされてしまっている受験生も多いですが、どちらか一冊で十分であるということです。1冊をしっかりものにする意識、そしてできるだけ早く志望校の過去問演習に入ることのほうが合格にとって遥かに重要です。この点の詳細は是非著書「受験の叡智」【受験戦略・勉強法の体系書】著書「医学部受験の叡智」【受験戦略・勉強法の体系書】をご覧いただきたいです。非常に重要なことを記しています。

標準・典型問題の数学問題集・参考書の勉強法の注意点


標準・典型問題の数学問題集・参考書の勉強法の注意点として大事なことは、問題集は1冊が完全に処理できていないのに何冊も使うことはやめることです。まずは1冊の問題集を何度も解きなおし、どの公式を使うのか、なぜここでその公式を使うのかということを考えて丁寧に演習に励んでください。周回数が問題なのでなく、完全に理解できたかどうかを問題にしてください。

そして自己の答と解答・解説はしっかり納得いくまで比較し、理解して解法パターンを記憶していってください。理解して記憶することによって頭の中に解法のストックができ未知の問題・応用度の高い問題にも対処できるようになります。

この解法パターンのストックも丸暗記ではありません。核となる考え方を理解している事が大事です。 「このポイントが分かればこの問題は解ける」という自分の言葉で一般化したポイント (著書「受験の叡智」【受験戦略・勉強法の体系書】キーワード: 著作権保護・無断使用禁止・要引用明記)だけを吸収するようにすれば、 最低限の記憶で済むし、そのポイントを他の問題にも応用可能になります。 またこれを言葉として書き出すことであいまいな理解では書けないこともわかるし、 自分だけのポイントが蓄積されていき復習の効率化も図ることができます。 (この点の詳細は非常に重要なことですので 著書「受験の叡智」【受験戦略・勉強法の体系書】 著書「医学部受験の叡智」【受験戦略・勉強法の体系書】 をご覧ください。)

問題集・参考書での問題演習の目的をはっきりさせる


問題演習の目的は基礎力の欠落の発見・補充、理解した解法をストックするためとそれを自由に引き出すことができるようになるためです。(インプットとアウトプットの両方を兼ねる)解法を理解するだけでなく、問題を通してそれをアウトプットすることも同様に重要です。問題を解くときに、自分がどのパターンを利用しているかというのを明確に意識してください。目的意識があいまいで問題演習をするのと、明確な目的を持って問題演習をするのでは、数ヵ月後には大きな差となって現れます。

頻出分野については問題演習を繰り返す中で別解や発展的な解法を理解し記憶しておきましょう。これによって完答できる問題が増えるとともに結果的に時間短縮にもつながります。発想が難しい問題でさえも、コアとなる発想が出来ればあとは身につけた基礎知識からほぼ自動で論理を展開できるくらいに問題演習を重ねてください。

各自志望校の過去問集の傾向の部分だけでもいいので学習の前にきちんと目をとおし頻出分野をチェックすることも数学の勉強を効率化させるためには大事なことです。分野の中でも、さらに細かい分野(確率だったら更にその中でも漸化式を利用するものが頻出、など)まで確認することをお勧めします。

東大理三合格講師陣が分析を加えた数学の基礎標準問題集


以下では数学の基礎標準問題集について、当塾東大理三合格講師陣が分析したコメントも交えて解説していきます。

基礎習得のための数学問題集・参考書


教科書及び傍用問題集

※全くの独学の場合は教科書及び傍用問題集の代わりに以下のものから入っても良い。 以下では教科書代わりの参考書を掲載する。

語りかける高校数学(ベレ出版)


「数Ⅰ編」「数Ⅱ編」と別れている。 授業のように先生が語り掛けてくる構成。 0から始めるのであればお勧めできる。

問題数が少なめではあるが、簡単な問題を細かい段階に分けて説明してくれているので 論理の理解とともに計算力アップも図れる。

スバラシク面白いと評判の初めから始める数学(マセマ)


「数学Ⅰ」「数学A」「数学Ⅱ」「数学B」「数学ⅢPART1」「数学ⅢPART2」と別れている。 上記「語りかける高校数学」と同じく授業のような構成。0から始める人向け。これも問題数は少なめ。 書店などで両者を比べ気にいった方を選べばよい。

沖田の数学をはじめからていねいにシリーズ(東進ブックス)


「ⅠA 数と式・集合と論証・2次関数編」「ⅠA 図形と軽量・図形の性質編」 「ⅠA 場合の数と確立データの分析・整数の性質編」に分かれている。

講義口調なので、実際に授業を受けているような感覚がある。 初修の人、すっかり忘れてしまっている人にオススメ。

解法パターン・定石ストックのための問題集


基礎~標準問題集
  ※基本的には志望校の数学の問題の難易度に合わせ、以下のうちから 一冊をまず完璧にし、 その後、志望校の過去問を解いてみてほしい。 数学の入試問題として「第2類型難問題」(当社、合格の天使オリジナルロジック)が主である大学(旧帝大理系等)以外は、 このレベルの問題集一冊を完璧にして志望校の過去問演習を行えば十分 な得点を獲得できる。

『黄チャート』(数研出版)


「数学Ⅰ+A」「数学Ⅱ+B」「数学Ⅲ」と別れている。 網羅性はかなり高い。この問題があらかた解けるようになったら、 数学の難度が高くない大学であれば、高得点が期待できる。

ただ、解法に 対する問題数が少ないので、志望校の過去問演習を行い、 重要な部分は 必要と感じれば他の問題集の問題も活用するとよい。

※志望校の数学の問題の難度や得点戦略によっては このレベルの問題集で足りることもあるので各自の志望校の問題の難度は チェックできる人にチェックしてもらうことを勧める。

『Focus Gold』(啓林館)


基礎~標準レベルを中心に幅広く出題パターンを網羅していて、 掲載 問題数が多く難易度の幅も広い問題集である(解答、解説は一対一と比 べると劣る印象がある)。 巻末に入試問題を題材とした発展的研究事項 が記述されており、面白くためになるのだが、 体裁に気を使っておらず ただ事項を書き連ねたようになっていて見づらいのが難点。 初修で基礎を網羅するために、解説を隠して例題だけ解けば十分。 標準~の問題は 1対1など他の参考書を使ってもよい。

『青チャート』(数研出版)


「数学Ⅰ+A」「数学Ⅱ+B」「数学Ⅲ」と別れている。 標準問題集。問題数がかなり多いが網羅性が高い。 計算量もそれなり に多く、難しい問題も含まれている。 志望校の数学の問題の難度によっては黄色チャートやFocus Goldで十分な場合があることに注意。

『1対1対応の演習』(東京出版)


「数学Ⅰ」「数学A」「数学Ⅱ」「数学B」「数学Ⅲ微積分編」「数学Ⅲ曲線・複素数編」と別れている。 大学入試における典型問題を集めた網羅型問題集。 Focus Goldや青 チャートと異なり教科書レベルの問題はほとんどない。

特長としては、 扱っている解法自体がかなり洗練されており、 またその解法を選択する 理由を平易な問題を題材にうまく一般化して解説している。 このため掲載している問題数は多くないのだがカバーできる問題範囲は広い。

思考力養成のための問題集


このレベルの問題集をやろうとしている人であっても、志望校の過去問が第一優先順位です。 まず志望校の過去問を数年分解いてみて目標点まで解けるならこの段階の問題集を挟む必要はありません。 初見の問題に対する視点や思考を鈍らせないようにするために適宜このレベルの問題集の問題をや ってみるという使い方はありです。

1.志望校の数学の問題が思考力を要求されるものであるという客観的事実があり
2.かつ、各自の得点戦略上この段階の問題集を挟む必要があり、
3.かつ時間的に余裕がある
という条件を満たす場合にのみ、この次元の問題集は使用してください。

使用する場合の選別の基準としては、各自が「解法パターン・定石ストックのために利用した問題集」よりも 一段上のレベルの問題集を使用します。

解法パターン・定石ストックのための問題集で、 青チャートやFocusGoldを使っていた人は「1対1対応の演習」を用いればよいです。

※以下は、数学の試験問題が「第2類型難問題」(当社、合格の天使オリジナル理論)のみで構成される大学を受験する場合以外は ほとんど必要がないことに注意していただきたい。

『標準問題精講』(旺文社)

 

「数学Ⅰ・A」「数学Ⅱ・B」「数学Ⅲ」と別れている。 過去問と標準問題集の中間くらいの難易度。 問題数もちょうどよく、 解説が丁寧でわかりやすい。 (余力があったら、標準問題集がおわってから過去問を始めるまでの期間でやってもよい)。

『新数学演習』(東京出版)


大数B~C(標準~やや難)の難易度をメインに、 よく出題される問 題を分野ごとにまとめた問題集。 難易度が過大評価されがちだが第2類系難問題の最も上位の難問題と言える問題(大数D評価)は5%程度。 巧みな解法が多くのっていることが特長の一つである。解説はあっさり しているため『1対1』にあるような解法はきちんと理解している必要 があるだろう。

『マスター・オブ・整数』( 東京出版)


受験生にとって対策の難しいことで知られる整数問題に絞った問題集。 基本レベルの問題から大学受験レベルを超えた問題まで網羅されて いるので、 この本を一冊やりこむだけで整数問題対策は充分であると言 える。 本書は全部の問題をこなすには難しすぎるが、 どのように進める べきかが読者のレベルごとに書かれているので それを参考にして取捨選 択をしながら学習すれば問題ない。 東大などの、難しい整数問題が頻繁に出題される大学を目指すのであれば役に立つだろう。

『マスター・オブ・場合の数・確率』(東京出版)


上の問題集と同シリーズの、場合の数・確率バージョン。 場合の数や確率は頻出だが、この問題集が解けるようになれば、 ほとんどの問題は 解けるようになったといってよい。 『マスター・オブ』シリーズは自身 の学習状況と志望校の出題状況をふまえ、 必要かつ(時間内に)実行可能と思ったらやるといいだろう。

『月刊大学への数学』(東京出版)


受験数学誌。問題集としては、月ごとに決められたテーマ(確率、III 積分など) の問題を教科書~やや難まで、レベル別に分けて掲載している。 また、より狭い事項((ex)|sin x|の積分など)を掘り下げた解説(類 題研究など) も(別立てで)掲載されている。分野に絞った対策に有用 と言えるだろう

数学の過去問対策と過去問の効率的な活用法


数学に限ったことではありませんが過去問は力試しのために取っておいたり、 直前期の問題演習のため取っておくものではありません。 最終的には過去問を数学の勉強の中心、問題集の中心に据えてください。 基礎標準知識⇔志望校の過去問演習の往復で『基礎標準知識を過去問基準でとらえなおす』 『過去問至上主義』『過去問こそが最高の問題集であり参考書である』 (以上著書「受験の叡智」から引用。著作権保護・無断使用禁止・要引用明記)。 以上は、著書「受験の叡智」の中で再三お伝えしているキーワードです。

志望校の数学の問題で高得点を獲得するには過去問を徹底的に活用することが最も大事になります。 以下ではそのための数学の過去問対策と過去問の有効活用法,勉強法について解説します。

数学の過去問の勉強のポイント


過去問を徹底的に使いこなし分析することで大きく数学の実力が伸びる

数学の過去問演習に取り組む際には、丁寧かつ粘り強い思考と分析を大事にしてください。しっかり思考してください。そして解答までの過程をしっかりと論理的に記述できるように訓練してください。場合分けや計算も根気強くやりましょう。 記述答案の自分の解答と模範解答を比べてよいものはどんどん吸収していくことも大事です。過去問集は(解説が詳しかったり簡潔だったりするものがある)違うものを複数そろえておいて模範解答を比べて自分が納得する答案を作成することで力がつきます。どうすれば点の取れる答案になるか常に研究してください。

これにより必然的に志望校の数学の要求していることがわかるし、出題者が受験生に身につけて欲しいと考えている数学的思考方法もわかるようになります。基礎標準知識と過去問の往復の中から本質的な理解と出題者の意図に応じた数学力を身につけることができるのです。(この点の詳細も非常に重要なことですので著書「受験の叡智」【受験戦略・勉強法の体系書】著書「医学部受験の叡智」【受験戦略・勉強法の体系書】 を是非ご覧ください。) 記述式の答案は第三者の目から客観的に評価してもらうこともとても大事です。この点は添削を受けることが非常に重要にまります。(できれば高得点を獲得できる論述答案とはどういうものかをわかっていて実際に自身で高得点を獲得している実力者に添削をお願いできれば得られるものは大きく異なります。)

過去問演習を行う際に特に意識してほしいこと


量をこなすことばかりを意識せず、問題の数学的な本質的部分をしっかりと考察するということを数学の過去問演習をするときには特に意識してください。 1つの問題に基礎標準知識を用いて、丁寧かつ粘り強い思考と分析で様々な角度から考えてみるのも数学力を身につけるには必要な方法なのです。この思考訓練の積み重ねが数学での得点の差になって現れます。

ここで注意していただきたいのがいろいろな角度から考えるというのはじっと考え込むというのとは異なるということです。色々な角度から数学の過去問を考えるというのは考えうる公式・解法をあげ1つずつ検討しだめなものは削っていく等、実際手を動かすことです。本番でも数学で高得点を獲得するためには同様の問題の解き方をします。図や問題文とにらめっこするのではなく、分かったことはなんでも書き込む、解法について考えたことでも良いのでとにかく手を動かして考えてみることが大事です。

自分の考えた解法では行き詰まるということを感じたら、潔く他の解法を考えなおすことも必要です。山に登る時、最初に選んだ道が崖であったらすぐに他の道を選ぶように、試行錯誤しながら最も整備された道を見つける、普段の数学の過去問演習でその試行錯誤を繰り返せば、先行きの見通しが明るくなり、途中で行き詰まるような解法、計算が複雑になるな解法を見極められるようになります。それにより適切な解法を素早く見つける力が養われていくのです。

数学の過去問対策上の注意点


難問は解ける必要がない

過去問で出題されている難問とされる誰にとっても難しいとされる問題=基礎標準知識から思考しても解答できない、時間が足りない等の問題(これについての詳細は著書「受験の叡智」【受験戦略・勉強法の体系書】「試験問題の3類型」受験の叡智から引用。著作権保護・無断使用禁止・要引用明記)を是非ご覧ください。)に関しては費用対効果上特別の対策を採る必要はない。合格のために得点しなければならないのは難関大学であろうがどこの大学であろうが基礎標準問題や基礎標準知識から解答を導き得る問題のみである。この点について納得できない方は著書「受験の叡智」【受験戦略・勉強法の体系書】著書「医学部受験の叡智」【受験戦略・勉強法の体系書】 で理論的な根拠をご覧いただきたい。

このコンテンツでお話している対策をしておいて解けないものは解けなくても合否に全く影響はない。受験戦略や本番で最も重要なことは、この種の問題は解けなくても合否に全く影響がないということを知っておくことである。そして本番でも平常心でやり過ごすことである。この対策こそ合格にとって最も重要な難問対策である。直前期の過去問演習では時間を計って解き、とく順番や、捨て問等の見極めがしっかりできるようにしよう。

数学の難問判別能力を得るために活用する


難問判別能力は基礎標準知識があってこそ

基礎標準問題や基礎標準知識から解答を導き得る問題とされるものを確実にいかなる状態でも、ミスなく、取りこぼさないように対策することこそが合格にとって最も必要なことです。これはどんな難関大学を受験する場合でも変わりません。またそのような問題に確実に対処できるようにする勉強は非常にコストパフォーマンスも高いのです。

ただしここで注意しなければならないことがひとつあります。その問題が試験本番ではできなくていい難問なのか基礎標準問題や得点すべき基礎標準知識から解答を導き得る問題なのかを試験中に判別する必要があるということである。この判別能力を身につけておくことも志望校の数学で合格点を取るためには重要な能力です。 その問題が易しいかどうかを問題に数分目をとおすだけで判別するには基礎標準問題を確実に理解、習得しておくことなしには不可能なのです。また過去問演習をしっかりやり見極める訓練をしておくことが必要なのです。ここでも基礎標準問題と過去問の重要性がわかると思います。基礎標準問題をしっかり自分のものにして過去問演習をしておけば本番で動揺することは極限までなくなります。

試験本番での数学の時間不足対策をする


志望大学の数学で時間不足に陥らない対策

志望校の問題によって微・積分法、数列、確率の問題など計算が複雑な問題が多い場合は普段から正確かつ迅速に計算できる計算力を身につけておくことが大切です。とにかく過去問演習を通じて正確かつ迅速な処理を常に心がけてください。計算は演習でも本番でも根気強く、粘り強く頑張ることが大切である。どの合格者も途中で投げ出したくなるような手間のかかる計算を根気強く粘り強く普段の演習からやりぬくことを強く意識しています。これによってケアレスミスを防げる効果もあります。

どの大学も数学の問題は大抵時間設定が厳しいので難しい問題にかかわりすぎず確実にとれる問題で確実に得点していくことが重要であす。繰り返しますがこれは基礎標準知識をしっかりと習得し、過去問演習も十分にこなすことによってのみ身につけられる能力です。基礎標準的知識があいまいだとどの問題が難しく、どの問題が得点できるものなのかの判断ができない、もしくは判断自体に時間がかかってしまいます。過去問演習が不足していても本番で傾向やその年の難易度がしっかりつかめないし、時間配分の方法も身につかないので解くべき問題が時間不足で解けないという事態に陥ってしまうのです。このことは十分理解して基礎標準知識の習得と志望校の過去問演習に励んでください。

過去問演習を数学の勉強の核に据えよ


基礎標準知識の習得と過去問演習が核

基礎標準知識⇔志望校の過去問演習の往復で『基礎標準知識を過去問基準でとらえなおす』『過去問至上主義』『過去問こそが最高の問題集であり参考書である』(以上著書「受験の叡智」から引用。著作権保護・無断使用禁止・要引用明記)。これは著書「受験の叡智」【受験戦略・勉強法の体系書】の中で再三お伝えしているキーワードですが、ここまでこのコンテンツを読んでいただいて過去問の重要性についてピンと来ない方、これを読んでもまだ色々をやらないと不安だと思ってしまう方は著書「受験の叡智」【受験戦略・勉強法の体系書】著書「医学部受験の叡智」【受験戦略・勉強法の体系書】 をじっくりと最初から読みこんでください。これだけであなたの勉強効率・合格可能性は大きく変わると断言できます。

数学の勉強で大事なことは、難問それ自体ばかりに目を奪われることなく、すべての応用問題は基礎の上にのみ成り立っているという原則を忘れずに基礎標準知識の習得と過去問演習に励んでください。他の知識的に難しい参考書や問題集を何冊もやったりすることによって過去問演習に当てる時間を絶対に削らないでください。基礎知識が不十分なところ常に戻って確認する、過去問演習を中心とする問題演習の中で公式や解法の中に少しでも疑問・不安があればそのつど、その時点で理解し、整理し、記憶していってください。必ずこまめに行ってください。理解と整理が伴うことによって基礎標準知識の本質的理解と思考力・応用力が身につきます。以上を繰り返す中で合格に必要な数学的知識、思考方法はついていくのです。以上を実践することで第一志望校の数学で高得点を獲得して下さい。

効率的かつ確実に数学を得意科目にする計算力


数学の実力が高い人に共通しているのが
●計算力の高さ
●計算スピードの速さ
●計算ミスの少なさ
です。これらは、軽視されがちですが、当塾東大理三合格講師陣が例外なく重視し訓練してきた力です。

東大理三合格講師の安藤が以下のように述べています。

計算力はしばしば基礎に位置付けられますが、 むしろ数学の得点能力を左右する最も重要な要素の一つとして、 ほかの能力と並列で考えるべきものだと思います (加えて、これらは相乗効果で伸びていくものだとも思います)。 ですから、たとえ受験終盤であっても、 計算力向上に焦点を当てた演習の時間を意識的に設ける意義は十分にあると思います。

以上のように数学の実力や得点力を確実に伸ばしていくためには数学の計算力をつけることが非常に大事なのです。

計算力・計算スピードを高めるための問題集


計算力や計算スピードというのは数学の実力をあげるために重要なものです。ですので、計算に特化した問題集を使うこともおすすめです。

青チャートなど計算問題もたくさん載っている問題集を使う場合には、計算力・計算スピードを養成する問題集を別途使う必要はない人もいますが、そのような問題集の単純な計算問題の部分と理解の部分を分けて、計算力は以下の問題集で鍛えるという方法もありです。

計算量が多い数Ⅲなどを苦手としている人は数Ⅲだけ使ってみるという手もありです。

『大学入試・センター突破計算力トレーニング』(桐書房)


「上」「下」「数Ⅲ」と分かれている

合格る計算よりは簡単な問題があつまっている。基礎の反復にも使え るし基本的な計算力のトレーニングにも使える。

『数学の計算革命』(駿台文庫)


上手い人の計算の仕方を真似させようという発想のもと、入試でよく 使う計算に絞って処理の仕方を教えている。

特徴的な方針として、紙に 書くメモ(途中計算)の量をなるべく減らす練習をさせている。

『合格る計算』(文英堂)


「数学Ⅰ・A・Ⅱ・B」と「数学Ⅲ」の2冊に分かれている。

計算力を付けるための問題集。定積分や三角関数の合成といった、基本的な手法の問題が1トピックにつき何題も掲載されている。計算の テクニックも実践的なものが紹介されているので、実際の問題を解くう えで非常に役立つ。練習問題の最後のほうの問題は難易度が高めなので、 そこは飛ばしても構わない。

計算力養成の大きなメリット


●計算力が身に付くと重い数IIIの積分計算問題も安定して得点できる(むしろ得点源になる)
●全体的に数学の得点がかなり安定する
特に、数III分野が出やすい医科大学志望の場合は意識的に強化を図ってください。

また、文系や数学が苦手なひとは
●計算するだけの問題を取り切って最低限の得点を確保できる

簡単に列挙しただけですがこれだけの大きなメリットが計算力の養成にはくっついてきます。 是非計算力を軽視することなく、しっかり鍛えてください。

東大トップ合格者の大学受験数学を攻略した方法


受験数学を攻略する方法として一般的には重視されたり語られたりしていませんが、数学の実力を確実に大きく上げる勉強法があります。それは記述・論述答案を重視した、意識した勉強法です。以下ではその詳しい内容について解説します。

数学苦手から東大数学本番で112/120点を獲得した方法


東大理二トップ合格講師大久保の実体験


こんにちは、講師の大久保です。 今回は一つ、私の受験生時代の話をさせていただきたいと思います。 私は高3になる前まではずっと数学を苦手としていました。 どのくらい苦手かといいますと、全国模試で点数が半分も取れないレベルで苦手でした。 問題集などはそれなりに人並みにこなしていたつもりだったのですが、なかなか点数がのびずに苦しんでいました。

それが、高3になると少しずつ伸び始めました。数学へのアプローチの仕方を変えてみたのです。それは、
・計算ミスを計算ミスで終わらせない
・数学の答案の書き方にもっと注意を払う
などと言った、当たり前と言われても仕方ないようなことです。

それまではこうした事をおろそかにしていたために、なかなか数学がのびなかったのですが、こうしたことを気にするようになってから徐々に間違いは減っていき、受験期の終わり頃には一番好きな科目になっていました。

私がここで伝えたいことは、2つです。つまり、
■当たり前、だけど大事な基本を見直す事には非常におおきな意味がある。
■ちょっとした視点の切り替わりで苦手意識は無くなり得る。
参考になれば幸いです。


この部分には数学を得意にするためのある秘密が隠されています。 事項以下ではその部分を取り上げます。

一般に語られることがない受験数学攻略のツボ


確実に数学の実力をつける方法

著書「受験の叡智」【受験戦略・勉強法の体系書】
著書「医学部受験の叡智」【受験戦略・勉強法の体系書】
でも取り上げている 数学の実力を伸ばす核についてのお話を取り上げます。 多くの受験生が軽視している、させられているのが数学的論理・数学独特の文法への意識と記述式答案への普段の勉強での対策です。

センター試験のみしか受けない受験生でも単にマーク式の問題に正解すればいいと安易に考えていると数学の実力はついていきません。またよく数学の勉強法で語られがちなのが、センター試験やマーク式の問題を解けるようになれば記述問題も得点できるようになるという考え方ですがこれは大きな誤りといっていいです。 これを読んでくださっているあなたはこのような数学の勉強法をとってしまっていませんか。

実際に記述式の答案を本番で課されることがなくても、数学の勉強や問題演習に取り組んでいく際には記述式答案を書く際のポイントと同じようにしっかりと立式の根拠やポイントとなる理由づけについては論理的に筋道立てて考えるということは意識的に行っていってください。これが出来ていない受験生はいくら問題演習を重ねても数学の実力はついていきません。

また、この部分はなぜ合格の天使がセンター数学と二次試験の対策について二次試験対策優先で数学の基礎力をつけていくことを優先すべきとしているのかの核心に関わる部分です。この部分が数学の実力を伸ばすのに本当に大事なものであるとわかっているならセンター対策優先という勉強法は絶対に出てこないのです。この部分をしっかり理解してから改めてセンター数学の勉強法と対策のコンテンツを読んでみてください。お伝えしていることの本質をご理解いただけると思います。

以下に記述のポイントを簡潔にあげます。数学で記述式の試験問題が課される受験生は当然ですが、マーク式の問題しか課されない受験生も日々の問題演習では以下のポイントに注意して行くことで数学的な論理力や数学独特の文法が身につきます。

数学の実力をあげる記述・論述のポイント


数学の的確な記述・論述答案を意識することで実力は大きく伸びる

簡単な問題は解答までの過程を特に丁寧に書く、逆に難しい問題・複雑な問題は多少丁寧さを犠牲にしても最終的な解答に可能な限り近づくように解答方針を明確に示し答えまでの過程(わかるところまで)をきちんと簡潔ながらも明確な論理で説明することが重要になる。ただし立式の根拠記述などポイントとなる理由付けを省略しすぎてはいけない。単に計算式を書いてつじつまが合っていればよいのではない。

結論を導くために式や条件をどう用いたのか、解答過程をしっかりと記し、数学で使う用語等を正確に用いて言葉できちんと記述し説明を加えることが重要である。そして明確な論理、思考の筋道を示すことが、完答はできなくても自分のわかるところまで、到達点までの論理的思考を示すことになり、部分点として評価してもらえる対象になるのである。

数学の解答には独特の文法というものがある。記述解答を書くのが苦手だと感じたら、問題集などの解答をノートなどに写してみよう。(もちろん先の演習の方法で挙げた解答の使い方とは別に行う)それにより文章の流れ、どの場合にどの言葉を使えば良いのかなどを学んで、自然に論理的な答案が組み立てられるようになる。

以上は非常に重要なことです。数学の勉強法と対策のコンテンツの各項については以上の事柄が前提です。常にこの項の内容を意識して読んでください。 以下ではこの点について解説した動画を取りあげます。

数学の勉強の極意


【動画】数学の記述論述答案のポイント「東大理二トップ合格講師大久保」

前項で数学の記述・論述答案は単に本番で得点するためだけに書くためのものではなく、普段の勉強で数学的な論理や独特の文法を学び数学の実力をつけるために必要なものであるということはお分かりいただけたと思います。 ただし、評価される数学の記述・論述答案ってどういうものなのかがわかっていなければいくらこれを日々の数学の勉強法として実践しようとしても的確に実践できません。そこで評価される数学の記述・論述答案について動画をプレゼントします。

この動画はこの講義を受けることで数学の実力を伸ばし旧帝大や医学部医学科へ合格している受験生から絶賛されている「数学記述・論述講座」のイントロダクション部分の無料提供です。是非役立ててください。大学受験の数学で高得点を獲得するために日々の勉強に役立ててください。




記述・論述答案を重視する


「東大理三合格講師槇&東大理二トップ合格講師大久保」

受験数学を攻略するツボとして記述・論述答案を意識した普段の勉強への取り組みがいかに大切なものであるかをこの動画から学んでください。東大数学で高得点を獲得している東大理三合格者と東大理二トップ合格者という無料では通常ありえない受験数学を極めた2人による動画です。

この動画は毎年恒例の「無料勉強法講義・質問会」~合格への招待状~を収録したものの一部です。真剣な講義時の槇、大久保と異なり、参加者のみなさんに気軽に接していただくため自然体で数学の勉強法に関する講義をしています。是非数学の成績が伸び悩むみなさんは参考にしてください。




安易な勉強法拝借は受験生にとって有害である


様々な勉強法を弊社がご提供しているのはあくまで受験生のみなさんのためです。受験生の皆さんには関係ありませんが、ちょっと明記させていただきます_(._.)_ この項の記述答案を重視する数学の勉強法や数学の勉強法に限らず著書「受験の叡智」【受験戦略・勉強法の体系書】および弊社ブログ記事やメルマガ記事さらには各種YouTube動画についてはすべて弊社講師陣が実際に受験生として実践し、また苦労して編み出したりしてかつ結果と圧倒的実力に実証されたものであるという前提の上にお伝えしている方法論です。

安易に様々な勉強法を拝借して語るのはその本質を捉えることはできません。例えば記述答案が重要という勉強法1つとってみても2次試験や私大試験で確実に高得点を獲得できる答案がどういうものであるのかをすべてわかっていなければ、そして実際に結果に実証された実力がなければその本質など教えることは決してできません。また、実践と結果に基づいた優れた勉強法であるならばそれはコロコロと勉強法が変わるなどということは決して起きません。本当に優れた勉強法であるならば、また実践と結果に基づいたオリジナルな勉強法であるならばそこには一貫性がありブレが生じることなどありません。

自身の実践と結果がないのに安易に勉強法だけを拝借して出典も示さず勉強法を語るのは弊社講師陣の受験生時代の努力と受験生のみなさんに対する情報提供への頑張りに対する侮辱であるとともに、受験生にとっても有害です_(._.)_

東大理三合格講師槇による数学の勉強のコツ


数学のコツを掴むことができれば数学を得意科目にすることも、難関大学の問題で高得点をとることも可能になります。そのコツの掴み方について東大理三合格者が実際の数学の問題を使いコツを解説します。普段の数学の勉強で何に着目し、どう思考し、何を得ていくべきかのかを学んでください。

数学のコツ - 整数問題①


今回は、整数問題の解き方について考えていきます。

整数問題を苦手とする受験生は多くいることと思います。 その理由は、確率や図形の問題と比べて、「初手」が掴みにくいからではないでしょうか。 取っ付きにくいと言ってもいいです。 素因数分解、最大公約数、合同式、互いに素、など、個々の技術は知っていても、それを最初にどう使えばいいのかわかりにくいことが、整数問題を解きにくくしています。

それぞれの技術の内容や使い方は、問題集や参考書に山ほど載っているのでそれを参考にしてもらうとして、 ここでは取り組む際の最初の考え方を見ていきましょう。

どのテクニックを使うにしても大事な事は、 整数問題は解体作業からはじめるということです。 因数分解であれ合同式であれ、処理しなければならない数や数式を、範囲を狭めながら細かく切り分けることが第一歩となることが多いです。 例題を見ながら具体的に考えましょう。中程度の難易度ですが詳しく解いていきます。

______________________________________________________________
ある2桁の正の整数mを2乗すると、下2桁が36になるという。
この条件をみたすmをすべて求めなさい。

_____________________________________________________________

上の考え方通り、「解体作業」から始めてみます。 求めるのはmですから、mの条件を元に細かく分けていきます。 「mは2桁の正の整数」というなので、 m=10a+b (a,bは自然数で、1≦a≦9, 1≦b≦9 ) とおきます。

すると m2=100a2 + 20ab + b2 ですから、m2の一の位はb2の一の位と等しいことがわかります。 2乗して一の位が6になる一桁の整数は、4(2乗して16)と6(2乗して36)のみですから、 b=4,6 です。

bが絞れたので、場合分けでさらに細かく「解体」していきます。

(ⅰ)b=4 のとき
m2=(10a+4)2
    =100a2 + 80a +16
    =100a2 + 10(8a+1) +6
よってm2の十の位は8a+1の一の位と一致するので、それが3になるとき、
8aの一の位は3-1=2 ですから、これを満たすaは
8a=32,72
⇔ a=4,9
となるので、m=44,94

(ⅱ)b=6 のとき
同様にして
m2=100a2 + 120a +36
    =100(a2 +a)+ 10(2a+3) +6
よってm2の十の位は2a+3の一の位と一致するので、それが3になるとき、
2aの一の位は0ですから、これを満たすaは
2a=10
⇔ a=5
となるので、m=56

以上から、m=44,56,94 となります。

整数問題では、最初に示された条件に基づき、どうやって解体するかということが、 最終的にどう解いていくにしても大事になります。

次回も色々なパターンを見ながら取り組み方を考えます。

数学のコツ - 整数問題②


今回も、整数問題の解き方について考えていきます。

前回は、整数問題の取っ掛かりとして「範囲を狭めて細かく解体する」ことを説明しました。 与えられた条件を元に、どのような解体の仕方をするかがキーポイントととなります。 数学では多くの問題に触れて、解法のパターンを蓄積しておくことが大事な要素となりますが、 ただ闇雲に解答を覚えるだけではパターンを学ぶことができません。 どこが解法のポイントになるかを見極め、そこに絞って学ぶことが必要です。

これから整数問題を解くときは、最初の解体方法に注目して解答を読んでみましょう。 様々な解体方法を頭に入れておけば、対応できる問題が増えていきます。 では今回も例題でパターンを見てみます。
______________________________________________________
   10210 
1010+3
の整数部分のけた数と、一の位の数字を求めよ。
ただし 321=10460353203 を用いて良い。

______________________________________________________

けた数については、 1010<1010+3<1011・・・①
を用いて評価すればよさそうです。
与えられた分数を α とおくと、①より
10199<α<10200
よって、けた数は200桁 (102< α <103のときなどを考えてみればわかります。)


しかし一の位の数字については、工夫が必要です。
与えられた分数を見てみると、分母の10210を評価しにくいことが難しい原因になっています。
10210をどうにかして解体する方法を考えます。
試しに分母を分子で普通に割ってみるといいかもしれません。
解答の続きは次回の記事に書きます。

数学のコツ - 整数問題③


今回も、整数問題の解き方について考えていきます。 前回の問題の解答の続きです。

__________________________________________________
   10210 
1010+3 の整数部分のけた数と、一の位の数字を求めよ。
ただし 321=10460353203 を用いて良い。 

___________________________________________________

10210を1010+3で実際割ってみると、
商が10200+(-3)・10190+(-3)2・10180+ ・・・ +(-3)19・1010+(-3)20 となり、余りが (-3)21となるはずです。(x=1010とおいて計算すると、多項式の割り算なので考えやすくなります。)

商の(-3)20以外の項はすべて1010より絶対値が大きいので、一の位を考えるときは影響しません。つまり、10210が解体されたことで、考えなければならない部分が絞られたということです。

よって求める一の位は、(-3)20と、(-3)21÷ (1010+3)の和の一の位であるとわかります。(上で求めた商と余りをもとに、問題の分数を展開してみるとわかります。)
(-3)20=321÷ 3
        =10460353203 ÷ 3
        =3486784401
で、
(-3)21÷ (1010+3) = - 10460353203 ÷10000000003                       
= - 1.04…

なので、和は3486784401 - 1.04… =3486784399.95…となるので一の位は 9 となります。


解体の方法は他にもいろいろあります。大事なのはここで扱った方法を覚えることではなく、この記事を読んでくれた皆さんが、 自分で勉強するときに、解体方法というポイントに注目して整数問題の解法を身につけることです。 色々な問題に触れながら、「こんな解体の仕方もあるんだ」と注目して身につければ、 ただ解答を覚えるよりも楽ですし、より深く理解できます。

数学全体の勉強法に関しても同じで、解けない問題に出くわしたら、 どこが自分にとってのポイントになるのか、つまり 「どこが分かればこの問題を解けたのか」を、常に考えましょう。 そしてもちろん、こうして身につけたパターンを何度も使ってマスターすることも重要です。 身につけたパターンを色々試しながら取り組むうちに、 どの問題にどの戦法が使えるかという「カン」が鍛えられます。

以上をご覧いただいてどうでしたか。数学だけではなく、物理、化学、生物についても各分野こういったコツをすべて網羅したコンテンツが合格の天使には存在しています。各映像講義でこういったコツやエッセンスは網羅的にご提供しています。さらに科目・質問数質問事項無制限指導を行うWEB個別指導講座リアル塾東京本校では各自の質問にこういった点も含めて回答指導を行っています。

数学のコツ-方程式・不等式


数学を苦手とする人は多いですが、各分野・各項目にはすべて思考のポイントやここまで考えれば受験数学としてはどこの大学の問題にも対処できるというものがあります。 これはすべての科目について当てはまります。 それを各分野・各項目について網羅的にエッセンスを抽出し体系化したのが合格の天使の映像講義です。この動画はその一部の皆さんへの無料プレゼントです




実力を効率的にあげる最も優れた数学の勉強法


数学の実力を最大効率であげていく方法というものを皆さんは考えたことはありますか? 巷の数学の勉強法でよくありがちな、〇か月で偏差値30アップとか、〇か月でセンターの得点○○点アップとか、そういった類の、そもそも数学というものを理解していない根拠のない言葉に踊らされていませんか?

以下では、数学の実力を確実かつ苦手科目から得意科目にまで押し上げることが出来る最も優れた数学の勉強法について公開します。

当塾の東大理三合格講師陣も実践してきた方法


数学の実力を最も効率的にあげる方法というのは存在しています。その方法というのは「自分でちゃんと考えたうえで、わからないところはできる人に聞いてしまう」ということです。

ただ、これをやっても伸びる人と伸びない人はいるのですが、その原因は「誰に聞くか」の差です。ここに大きな差が生まれる原因があります。大学受験数学をマスターしていない、そもそも数学受験をしていない人に聞いても的確な答えが返ってこないことは当たり前ですが、どのレベルまでマスターしたかによっても説明できることや適格性に雲泥の差があるのです。

みなさんはやる気の問題や勉強効率の問題に悩まされたり、塾や予備校で一般的な問題解説講義を受けても自分のわからないところを解決できない、深く理解できない、ということを感じたことはありませんか? これは多くの受験生が悩まされたり感じていることです。

でも、

■やる気や勉強効率を大きく阻害する「わからない」「できない」ところを日々解決していけるとしたら
■しかも、自分のわからない部分を圧倒的実力者が丁寧に説明してくれて理解していけるとしたら
■さらにそれが、受験数学を高いレベルで極めた人間のみがなしうる、他の問題にも通用する思考を伴った説明・解説とともに入試に必要なレベルで過不足なく得ていけるとしたら
■さらにさらに、受験数学のすべての問題を解きうる人から、大学入試においてはここまで理解していれば大丈夫ですという明確な区切りとともに得ていけたら

あなたがやる気の問題に悩まされることは極限まで減ります。
→なぜなら受験勉強のやる気を阻害する最も大きな要因は「わからない」「できない」からです。

あなたが勉強効率に悩まされることはなくなります。
→なぜならこれ以上の効率を得ている受験生は日本全国にいないからです。

あなたの実力は確実に伸びます。
→なぜならこれ以上確実かつ効率的に実力を伸ばせる方法など存在しないからです。

みなさんが毎日の勉強でわからない問題やあいまいな部分をこのように解決していけるとしたらあなたの実力が伸びない原因はありますか?

実際の数学の質問回答を公開


以下では、当塾のネット塾・WEB個別指導で指導として行っている科目・質問数無制限の説明指導・回答指導・添削指導について、当塾が誇る東大理三合格講師(東大医学部医学科)・東大「首席」合格講師他、東大合格講師陣の数学の個別指導の回答を特別公開していきます。

平面図形


【平面図形に関するネット塾・WEB個別指導受講生の質問】

平面図形図

辺BC,PQは平行
△ABCの辺AB,AC上にそれぞれ点P,Qが存在する
この時、次のことが成り立つ
ただし、③の逆は成り立たない。

①BC∥PQ⇔AB:AP=AC:AQ
②BC∥PQ⇔AP:PB=AQ:QC
③BC∥PQ⇒AP:AB=PQ:BC

教科書等には一般にこのように書かれていますが、 「③の逆は成り立たない」のはなぜですか?

【東大理三合格(東大医学部医学科)講師 槇の回答】

図をまず見てください。

平面図形図2

AP:AB=PQ:BCが成り立つとき、図のPQについては、確かにPQ//BCが成り立ちます。

しかし、AC上でPQ=PQ' となるような別の点Q'を取ることが出来るのです。
この場合、AP:AB=PQ':BC が成り立っていながら、PQ'//BC は成り立っていませんね。

このように反例があるため、逆は成り立たないのです。

極限


【極限に関するネット塾・WEB個別指導受講生の質問】

√(x^2 + x) + xのx→-∞の極限を求める際、x=-tと置き換えないで計算すると、
=(x^2 + x - x^2) / [√(x^2 + x) - x ]
=x / [√(x^2 + x) - x ]
= 1 /[√(1 + 1/x) - 1 ]
となり、極限が1/(1-1)=1/0になってしまい、置き換えた場合と解答(-1/2)と異なってしまいます。なぜそうなるのかわかりません。

【東大理二「首席」合格(東大医学部医学科)講師 大久保の回答】

非常にいい質問であり、とても多くの受験生が間違えるところであります。 以上の式変形をしていただいたのだと思いますが、どこが誤りなのでしょうか。

√(x^2 + x) + x
=(x^2 + x - x^2) / [√(x^2 + x) - x ]
=x / [√(x^2 + x) - x ]
ここまでは何の問題もありません。問題はこの後
= 1 /[√(1 + 1/x) - 1 ]
としたところです。ここが誤りです。

x / [√(x^2 + x) - x ]の分母をxで割って、
1 / [√(x^2 + x) / x -1]とし、√の中に1/xを入れて1/x^2として
1 / [√[(x^2 + x)/x^2] -1]
としたのだと思いますが、これが誤っているところです。
今、x→-∞を考えているので、x<0です。負の数は√の中に入れることができません。

x / [√(x^2 + x) - x ]
= 1 / [√(x^2 + x) / x -1] ここまではいいですが、このあとxを√の中に入れる際にそのままでは入れることができません。
そこで、xが負の時-xなら正ですので、-xを中に入れます。
√(x^2 + x) / xにおいて、x=-(-x)として、この(-x)を中に入れます。
√(x^2 + x) / -(-x)
=- √(x^2 + x) / (-x)
=- √[(x^2 + x)/(-x)^2]
=- √(1+1/x)
となります。

故に、x / [√(x^2 + x) - x ]をx<0において正しく式変形すると
1 /[ - √(1 + 1/x) - 1 ]
となりますから、x→-∞とした時この極限値は1/(-1-1) = -1/2となり、置き換えた場合と一致します。

このように√の中に負の数を入れる時には、そのままでは入れられないというのをよく忘れます。
私たちは負の数の操作に想像以上に慣れていません。
このようなミスを防ぐために、原則的にx→-∞の時にはもうt=-xと置き換えてしまうのが安全だと言われています。

確率 排反と独立


【確立についてのネット塾・WEB個別指導受講生の質問】

確率の分野なのですが、排反と独立の違いが明確にわからないです。
明確な違いを教えてください。

【東大理三合格(東大医学部医学科)講師 安藤の回答】

排反と独立は、確率を求めるときにキーになる二つの考えですね。この二つは、実際全く異なる概念です。定義と具体例を確認しましょう。

排反というのは、いくつかの事象が同時には起こらないことを言います。AとBが排反なら、AかつBが起こる確率は0です。例えばコインを投げて表がでる事象と裏が出る事象は排反です。

一方で、独立というのは、高校数学だと多くは「試行」に対して使われてそれぞれの試行が関係しないこと、互いに試行の結果に影響を及ぼさないことをいいます。試行aとbが独立と言われたら、aの結果がどうであろうと、bの結果には影響しません。

例えばガチャポンで1回目に出たものが低レアの景品だった場合、2回目は高レアの景品が出る確率が高まります(分母が減るからです)。この場合は1回目と2回目は独立ではありません。一方で、ソシャゲ(ソーシャルゲーム)の電子ガチャの場合は、何度回しても高レアの排出率は一定ですから、この場合1回目と2回目は独立な試行ということになります。

確率を求める文脈では割と同格に扱われることが多いので混乱してしまうのかも知れません。ですが定義を確認すれば、上のようにかなり違う概念なんだと分かってもらえると思います。実際に問題を解くときにも、どちらを使えばいいか分からなくなったら定義に戻って考えるといいでしょう。

次数がわからない関数を含む恒等式の場合分け


【恒等式の場合分けに関するネット塾・WEB個別指導受講生の質問】

[問題]

n次式であるf(x)が
(x+1)f '(x)-3f(x)+2x-1=0
f(0)=1
という関係を満たしているとき、nとf(x)をそれぞれ求めよ。

この問題を解くとき、nと1の大小で場合分けをする必要があります。
では、なぜその場合分けをしなければならないか説明することができますか?

[受講生の実際の質問]
nと1の大小で場合分けをするというのが理解できていません。

【東大理三合格(東大医学部医学科)講師 槇の回答】

一般に、n次式を微分するとn-1次式になります。よってf(x)がn次式ならf '(x)はn-1次式です。 これは大丈夫ですね。

本問のように次数のはっきりしない恒等式の問題では、最高次数の項を比較するのが常套手段です。
(x+1)は1次式ですから、(x+1)f'(x) は1+(n-1)=n次式、-3f(x)はn次式、2x-1は1次式です。

したがってn≧2であれば、最高次数であるn次の項をもつのは(x+1)f'(x) と-3f(x) ですから、この2項について、それを展開した中でのn次の項を比較すれば済みます。

しかしn=1のとき、最高次数である1次の項をもつのは、(x+1)f'(x) , -3f(x) のほかに2x-1も含まれます。 よって比較すべき項が増えます。

このように、n=1とそれ以外の時で、最高次数の項を比較する際考慮する項が異なるので、場合分けをしなければいけません。

因数分解


【因数分解に関するネット塾・WEB個別指導受講生の質問】

2cos2x + 8sinx -5 ≦0
を因数分解したあと
(2sinx-3)(2sinx-1)≧0
からわからなくなってしまいました。

【東大理二「首席」合格(東大医学部医学科)講師 大久保の回答】

非常に良い質問です。
少し戻って、
(2sinx-3)(2sinx-1)≧0
から説明しましょう。ここから実は2つの考え方があります。

1つ目は以下のようなものです。
2sinx-3の符号について考えて見ましょう。
sinxはどんなに頑張っても最大値1までしかいけません。ということは、
2sinx-3の最大値は-1ということです。つまり、2sinxは常に負です。
よって、(2sinx-3)(2sinx-1)≧0
というのは、常に2sinx-3<0であることを考えると両辺を2sinx-3で割ることができて(0ではない、かつ符号がわかってるので不等号の向きの変化がわかるため)
2sinx-1≦0となります。
あとはここからsinx≦1/2として解いていけば良いです。

さて、2つ目は○○さんのやっていただいたように、
(2sinx-3)(2sinx-1)≧0から
sinx≦1/2 または sinx≧3/2
とするものです。(この「または」が地味に大事です。意識していましたでしょうか?)
sinx≦1/2を満たすxは0≦x≦π/6または5π/6≦x<2πで良いと思います。
sinx≧3/2をみたすxはどうでしょうか?
上述の通り、sinxはどんなに頑張っても最大値は1までしかいけません。よって、sinx≧3/2をみたすxは存在しない、というのが正しいです。

数列の一般項


【数列にするネット塾・WEB個別指導受講生の質問】

{an},{bn}の一般項をそれぞれan=2^n, bn=3n+2とする。{an}の項のうち、{bn}の項を小さい方が順に並べて得られる数列{cn}の一般項を求めよ。 という問題で、模範解答が途中からわからなくなりました(実際にはより具体的にその箇所が指摘されています)。

【東大理二「首席」合格(東大医学部医学科)講師 大久保の回答】

2つの数列 an = 2^n bn = 3n+2
のうち、一致している項のみを取り出すと一般項はどう書けるかという問題です。

この場合は、まずanの何項目とbnの何項目が一致しているかを調べる必要があります。 それがわかれば、あとはそれをanかbnのどちらかの式に代入すればcnが求まります。

よって、今anのl項目がbnのm項目に等しいとしてlとmの関係を求めます。
al = bmですから、
2^l = 3m+2です。
さて、これをこのまま解こうとすると左辺は指数関数、右辺は1次式で解くのが難しいです。 そこで、直接求めるのが難しい場合は実際の数から予想してから方針を立てるという鉄則に従いましょう。

少しanとbnの項を書き出してみましょう。
an = 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128
bn =5,8,11,14,17,20,23…,32…

よって、かなり雑ではありますが、8,32が一致してますのでもしかしたらanの項が1個おきに一致しているのではと思います。 そこで、実際に128も一致しているかをみると、 128=3n+2 を解けばn=42とできますので、bnも48項目に128があり、一致してます。

いよいよanの一個おき(初項は8)にanとbnが一致していそうなので、これをcnと予想します。
cn=8,32,128,…つまり、cnは初項は8、公比は4の等比数列と予想できます。
あとは、これを証明するだけです。

i) 初項8は一致している。
ii) anのl項目とbnのm項目が一致していると仮定した時、anのl+2項目もbnのどこかに一致していることを示す。
al = bmですから、
2^l = 3m+2です。この時、
al+2
= 2^(l+2)
= 4× 2^l
= 4× (3m+2) (仮定を使った)
= 12m + 8
= 3(4m+2) +2
よってal+2 = b4m+2なので、確かに一致する項がある。
ゆえに、anのl項目とbnのm項目が一致していると仮定した時、anのl+2項目もbnのどこかに一致していることが示された。

i)ii)より、数学的帰納法からcnは初項8、anの2つおきの項からなることが求まり、cnは初項は8、公比は4の等比数列とわかったので一般項は
8×4(n-1)
=2^(2n+1)

このように、模範解答には予想して数学的帰納法というのがはっきり書いてなかったので分かりにくかったのだと思います。 実際には上記のような思考過程を経ています。

漸近線の変化


【漸近線のネット塾・WEB個別指導受講生の質問】

190、192の画像についてです。これらの問題は正の無限大と負の無限大によって、漸近線が変化する問題ですが、この手の曲線であることの判別は、実際に極限を取らないとわからないものなのでしょうか?
※実際の受講生の質問には問題集の問題の画像が添付されていますがここでは割愛させていただきます。

【東大理三合格(東大医学部医学科)講師 槇の回答】

大体の推測をすることはできます。要は、具体的にxに「大きい値」を代入してみて、定数を無視すればどうなるかを考えれば良いのです。

190なら、x=100などを代入してみると、√の中身は、-1などは無視できるので√x^2=x となりますよね。ということはxが十分大きければ2x+x=3xに近づきます。

負ならどうかというと、x=-100 にすれば√の中身は、やはり-1は無視出来て、√(-100)^2=100=-x となります。
よって2x-x=x に近くなるわけです。

常にこのように推測できるわけではないですが、√の中身にx^2が入っている今回のような関数は、上の方法で推測できる場合が多いと思います。

複接線


【複接線のネット塾・WEB個別指導受講生の質問】

204の画像についてです。ここでは複接線というものが取り上げられていますが、これは入試でよく取り上げられるのでしょうか?また対処の仕方としては、どういったものになるのでしょうか?
※実際の受講生の質問には問題集の問題の画像が添付されていますがここでは割愛させていただきます。

【東大理三合格(東大医学部医学科)講師 槇の回答】

複接線という言葉自体はどうでも良いですが、たまに取り上げられることはありますね。 といっても「2点で接する接線の方程式は」とか、しっかり明記されると思います。

今回のような問題で「実は複接線があるから本数≠接点の個数でした~」みたいな落とし穴を作るのは、 難関大学の中でさらに難しい問題で、可能性がある程度の話です。

なのであまり心配しなくても良いですが、グラフの概形を考えられるなら、 一度確認してみるとより盤石ではあります。

積分 面積の最小


【積分 面積の最小に関するネット塾・WEB個別指導受講生の質問】

曲線 C : y = |x(x-1)| と 直線 l : y = mxがある。C と l とで囲まれる部分の面積 S を最小とする m の値を求めよ。ただし、C と l は異なる3つの共有点を持つ。
という問題ですが、解説にある一連の式変形が少しこんがらがってしまいます。
この式変形はどうなっているのでしょうか。

【東大理三合格(東大医学部医学科)講師 深川の回答】

添付図を参考にしてください。落ち着いて考えましょう。
計算を楽にする工夫です。あと少しで積分範囲が全部繋がって綺麗になるのに…と思っているとこの式変形を思いつきます。

積分の式変形





複素数 虚数ωの範囲


【虚数ωの範囲に関するネット塾・WEB個別指導受講生の質問】

「数学2Bの虚数ωの範囲を、学校では「入試にはほとんどでないからやらなくていい」
と言われたのですが、本当にやらなくていいのでしょうか?」

このコンテンツをご覧いただいている皆さんに質問です

この質問ですが、みなさんが今受けている指導や質問できる人に質問した場合、的確な回答が得られますか?
またみなさんも他の科目や分野でこのような疑問を持ったことはないですか?

安易に語られているゴールから逆算するとか志望校の過去問を見ればわかるというような指導、アドバイスではこの問題には的確に回答できません。
的確なものは絶対に得られません。

【東大理三合格(東大医学部医学科)講師 槇の回答】

ωについては、説明なしで出題されることは無いと思います。
しかし「x^3=1の虚数解をωとする」といった説明があって、それに関する 出題がされるというのは大いにありえます。

また、ここでポイントとなることは、ωに限らず他の複素数でも有用です。 「次数下げ」というテクニックになりますが、応用できますか。

例えば下の問題を解いてみてください。
a= - 1+√2 i とするとき、a^4 の値は?

ヒント:まともに計算しようとすると大変ですね。
そこで、「aが解となる2次方程式」を求めてみてください。

そうすれば28(2)と同じように次数を下げることが出来ます。

回答掲載解説

このような回答を得られるかどうかだけでも今後の勉強や受験対策に相当な差がつくことはお分かりいただけると思います。

みなさんもこのような部分で疑問を持ち、まだ基礎標準知識の習得が済んでおらず過去問分析が自力でできない段階では、質問できる人にしっかり聞いてください。

「試験にはでない」というのなら他の分野に絡んでこないのか、直接出ないとしても数学的思考としてたの分野でも必要になるものではないのかという部分まで突っ込んで質問することで的確なものが得られます。

ここではっきりと真実をお伝えしておきますが、大学入試において何をどこまで得ておけばいいか、考えておけばいいのかという線引きを明確にできるのは、またそれらを踏まえた的確な戦略や勉強法、勉強計画を指導できるのは以下の条件を満たす場合のみです。

1、実際にその教科の問題に具体的に答えられること
2、実際に基礎理論から具体的問題にわかりやすく解答できること
3、実際に全国の大学のどんな問題にも的確に解答できること


という3段階のレベルをすべてクリアーしている実力を有している場合のみです。
もちろん自称ではなくしっかりとした受験結果に実証されていることが大事ということも忘れないでください。

戦略や勉強法や計画だけ語ることは、拝借して行けばいくらでも圧倒的実力者と同じことを語れます。
しかしそれは決して的を射た的確なものではないことは本来説明するまでもないことです。

難関大学の数学や物理、化学、生物など理系学部の具体的な問題について基礎理論から解説・解答できないにもかかわらず、 また自身が実際にその次元での合格という結果を出していないにもかかわらず、
戦略や勉強法、勉強計画だけが優れたものになることなど絶対にありえません。

自身の受験結果に実証されている高い実力がある指導者から指導を得られるか否かだけで、実際の勉強効率、成績の伸び、さらには狭き門である医学部や難関大学の合否まで決まっている側面があるのも事実です。

今回はちょっと本音をお伝えしました。
本気になって合格へ向かってください。

補足


実際に受講生からいただくご質問には教科書、問題集、参考書、過去問集の該当の問題の全文の画像がありますが、ここでは割愛させていただいています。

ここに掲載している回答は、毎日受講生から頂く多くのご質問に対するごくごく一部をご紹介するものです。 すなわち、1人の受講生が1日に数問~10問程度の質問、1日トータルで百~数百問、1か月で数千~数万問、1年で数万~数十万問、数年で数十万~数百万問という膨大な数の質問回答の中からランダムに1問ずつ取り上げて掲載しているものです。

数学力を大きく伸ばす方法


同じように勉強しているのに数学の実力を大きく伸ばす受験生とそうでない受験生がいます。ここではこの原因とともに実力を大きく伸ばす受験生の大学受験数学の勉強法と対策の秘密について解説します。

数学の実力を確実かつ大きく伸ばす方法


数学の実力を確実かつ大きく伸ばすには、このページと後程リンクをご紹介する「数学勉強法|東大理三合格者20名超の対策」のページ、および当塾の著書「受験の叡智」【受験戦略・勉強法の体系書】~完全版~、「医学部受験の叡智」【受験戦略・勉強法の体系書】を熟読していただき、 「合格するための数学の勉強法」を知り実践することがまず重要になります。とにかく実践をしてください。 これによりあなたの難関大学合格可能性は大きく高まります。また無駄な労力や努力を極力抑え効率的に実力をつけていくことが出来るようになります。

当塾、合格の天使の受講生の実力がものすごく伸びるのはわからない部分や問題について

■いつでも科目・質問数無制限で質問できること
■数学(数学に限らず全教科)について大学受験で高得点を獲得するために必要なエッセンスや核、思考方法について各分野・各項目すべてにわたって講義や質問回答指導で網羅的に得ることができ、勉強効率と実力アップの確実性を他の受験生とは異なる次元で手に入れているということ
■そしてそれがそれ以上のものは必要ないという質、内容であること(東大2回/理三合格講師、東大理二トップ合格講師やその他センター試験九割五分オーバーの得点を獲得している東大生講師から受験生時代に蓄積してきたノウハウをすべて学べる)

からです。

ここでみなさんは大事なポイントに気づいていますか?数学に苦手意識がある方や数学が得意でない方はいくら数学の勉強をしようと頑張っても「わからないものはわからない」のでやればやるだけけ非効率な勉強になってしまいます。そしてだれでもわからなければその対象を嫌いになります。これはすごく当たり前のことです。好きになれるはずなど人間であるならありえない状況が生じてしまっているのです。

ではこれらのデメリットを解消し確実かつ効率的に数学の実力を伸ばすにはどうすればいいのかということになりますが、これはできる人に聞いてしまうのが一番です。

できればこれも添削と同じようにあなたの周りで最も数学の実力が高い人、自称ではなく客観的結果が伴っている人に聞くのがベストです。 このわからないところは質問できるかつ的確な基礎理論からの回答が得られるという環境だけは難関大学に合格するためには是非手に入れてください。

多くの受験生が塾や予備校に通ったり、個別指導を受けたりや家庭教師をつけたりしますよね?でもそのほとんど9割以上の受験生が第一志望に合格できないという現実の原因をみなさんはしっかりと捉えて分析したことがありますか?

どんなに多くの一般的な指導を受けても、一般的な講義を聞いても埋まらない差があるということです。その差の原因は「的確なものを得られるかどうか」の差です。多くの受講生を集めてそのうちの一部しか第一志望校に合格しないのであればその指導は合格とは因果関係がないといえるのです。ことに難関大学になればこのことはもっと顕著な事実なのです。

このコンテンツを読んでくださっている受験生や保護者の皆様はこの点について真剣に考えてみてください。この原因の分析と衝撃の事実を事項で目の当たりにしてください。

大学受験数学で差がつく原因を知り焦点を当てる


このページと後程リンクをご紹介する「数学勉強法|東大理三合格者20名超の対策」のページ、および当塾の著書「受験の叡智」【受験戦略・勉強法の体系書】~完全版~、 「医学部受験の叡智」【受験戦略・勉強法の体系書】を熟読していただき、「合格するための数学勉強法」をしっかりと実践するだけでも 全国の受験生よりも遥かに効率的に実力をつけることが出来ます。あなたはすでに受験界トップの数学の勉強法と効率を手に入れています。

この数学の勉強法のコンテンツの中でもお話したとおり数学の実力を確実につけるには
数学各分野の問題に対処する際の数学的思考
確実に高得点を獲得できる数学の記述答案の作法・文法を知る
ことが必要です。

ただしこの部分について
数学の勉強で改善すべき点は個人によって千差万別
数学的思考の弱点、抜け、癖は個人によって千差万別
この部分は自分ではなかなか気づくことができない
数学各分野の問題に対処する際の数学的思考について過不足なく高い質で網羅された本当に的確なものは一般的になっていない
確実に高得点を獲得できる数学の記述答案の作法・文法というもので本当に的確なものは一般的になっていない
のです。だから数学の実力を高い次元でつけることは非常に厄介なのです。

さらに
個人によって千差万別な改善点について見抜ぬき改善させることは受験数学を高い次元でマスターしている人でなければ不可能
個人によって千差万別な数学的思考の弱点、抜け、癖を見抜いて改善させることは受験数学を高い次元でマスターしている人でなければ不可能
自分ではなかなか気づくことができない部分を過不足なく指摘・改善してあげるには受験数学を高い次元でマスターしている人でなければ不可能
数学各分野の問題に対処する際の数学的思考について過不足なく高い質で網羅しているの客観的受験結果が伴った(自称ではない)ごく一部の実力者だけ
確実に高得点を獲得できる数学の記述答案の作法・文法を網羅的に有しているのは客観的受験結果が伴った(自称ではない)ごく一部の実力者だけ
なのです。だからさらにそれを得られる人とそうでない人では勉強時間も効率も確実性もさらには第一志望校・難関大学の合否までも大きく異なってしまうのです。。

以上の事実から、この部分の格差はどんなに一般的な指導を受けても、 一般的な講義を受けても埋められないのが現実なのです。 でもそれでは同じだけもしくはそれ以上に努力しているのに不公平ですよね。 この部分について頑張っている受験生に受験界最高峰のものをご提供しているのが合格の天使の指導です。 講師の圧倒的受験結果と指導における驚異的合格率を誇る合格実績がこの理論の確固たる証拠です。

最大限の効率と確実性を手に入れて第一志望校合格を確実にしたいという方は無駄な時間や労力を排し 確実性を踏まえた最短距離で大学受験数学の実力をつけることを可能 とした合格の天使の指導の秘密と大学受験塾、WEB個別指導塾、映像講義を公式サイトのトップページよりご覧ください。 受講に関係なく東大、医学部医学科、 旧帝大・超難関国公立、早慶へ驚異的合格率を誇る原因は何なのかという視点でご覧ください。

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